Twierdzenie o środkowych i środek ciężkości w trójkącie

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta. Środek ciężkości dzieli każdą ze środkowych w stosunku 2:1, przy czym dłuższy jest odcinek łączący środek ciężkości z wierzchołkiem trójkąta.

 

Zad1 W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości podstawy 18 oraz ramion 15. Znajdź długości środkowych. odp. 12, .

Zad2 Znajdź długości środkowych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych 10 i 24. odp.  (wsk.)

Zad3 W trójkącie równoramiennym ABC dane są długości podstawy |AB|= oraz środkowej |AK|=5. Znajdź długości ramion. odp. 6

Zad4 Znajdź długości środkowych w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 10, oraz przyprostokątnej 6. odp.

wskazówki:

zad2 – skorzystaj z własności okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

 

RÓWNOLEGŁOBOKI

Twierdzenie: Pole dowolnego czworokąta wypukłego równe jest połowie iloczynu przekątnych i sinusa kąta zawartego pomiędzy nimi.

 

Zad1 Dane są długości a=3 jednego z boków równoległoboku oraz obie wysokości ha=6, hb=2. Znajdź długość boku sąsiedniego. odp. 9

Zad2 W równoległoboku dane są długości boków 4, 3 oraz kąt <1500. Znajdź pole i obie wysokości. odp. P=6, h1=3/2, h2=2.

Zad3 W równoległoboku długości przekątnych równe są 6 i 10, a kąt pomiędzy nimi wynosi 600. Znajdź długości boków i pole. odp. P=boki:.

Zad4 Dane są długości boków równoległoboku a=2, b=3 oraz długość przekątnej e=. Znajdź długość drugiej przekątnej. odp.

Zad5 Dane są długości boków równoległoboku a=4, b=9 oraz wysokość ha=9. Znajdź drugą wysokość. odp. 4

Zad6 Pole równoległoboku wynosi P=, a jego boki maja długości a=3, b=4. Znajdź kąt ostry. odp. 450.

Zad7 W równoległoboku dane są długości boków  5, 6, a kąt pomiędzy nimi wynosi 600. Znajdź długości obu przekątnych. odp.

wskazówka:

Do rozwiązania niektórych zadań dotyczących równoległoboków warto wykorzystać twierdzenie cosinusów.

 

ROMBY (wystarczy tw. Pitagorasa)

Zad1 Dane są bok rombu 4 oraz wysokość 2. Znajdź kąt ostry pomiędzy bokami. odp.300

Zad2 Przekątne rombu równe są odpowiednio 6, 8. Znajdź bok i pole. odp. P=24, a=5.

Zad3 Dane są bok rombu 13 oraz przekątna 24. Znajdź długość drugiej przekątnej oraz sinus kąta pomiędzy bokami. odp. f=10, sinA=120/169

Zad4 Dane są bok rombu a=6 oraz kąt pomiędzy bokami 600. Znajdź wysokość. odp. 3

Zad5 Dane są wysokość rombu h=3 oraz kąt pomiędzy bokami 450. Znajdź bok rombu. odp.3

Zad6 Dane są pole rombu P=120 oraz jedna z przekątnych e=10. Znajdź drugą przekątną i bok rombu. odp.f=24, a=13.

zad7 Dane są bok rombu 25 oraz długość przekątnej 48. Znajdź długość drugiej przekątnej i cosinus kąta ostrego pomiędzy bokami. odp. e=14, cosA=527/625.